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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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3. Hallar, en cada caso, el dominio, la imagen, las ecuaciones de las asintotas verticales, los ceros, y los conjuntos de positividad y de negatividad de:
d) f(x)=ln⁡(12−x)f(x)=\ln \left(\frac{1}{2-x}\right)

Respuesta

Hallemos el dominio:
12−x>0\frac{1}{2-x} > 0 Para resolver esta desigualdad, primero observamos que la fracción es positiva si el denominador (2−x2-x) es negativo (ya que el numerador es positivo). Por tanto, acá hay un único caso (te acordás de lo que veíamos en la práctica de números reales?) y es que el denominador sea positivo. Vamos a plantearlo: 2−x>02-x > 0 −x>−2-x > -2 x<2x < 2  

• Domf=(−∞;2)Domf= (-\infty; 2) Hallemos la imagen: La función logaritmo natural puede tomar cualquier valor real como salida. Esto significa que la imagen de f(x)f(x) es (−∞,+∞)(-\infty, +\infty), lo que es lo mismo: • Domf=ℜDomf= \Re Hallemos la asíntota vertical: Para las funciones logarítmicas evaluamos el límite en el borde del dominio:


lim⁡x→2−ln⁡(12−x)=+∞\lim_{{x \to 2^-}} \ln\left(\frac{1}{2-x}\right) = +\infty
• Hay AV en x=2x =2 Hallemos los ceros: f(x)=0f(x) = 0

ln⁡(12−x)=0\ln\left(\frac{1}{2-x}\right) = 0 12−x=e0\frac{1}{2-x} = e^0
12−x=1\frac{1}{2-x} = 1 2−x=12 - x = 1 x=1x = 1 • C0={1}C^0 = \{1\} Conjuntos de positividad y negatividad: Aplicando Bolzano, teniendo en cuenta el dominio de la función y los ceros, nos queda: •C+=(1;2)C^+ = (1; 2) •C−=(−∞;1)C^- = (-\infty; 1) ¿Te animás a mostrar tus cálculos para determinar el conjunto de positividad y negatividad?
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